3. В кубе ABCDA1B1C1D1 на ребре В1С1 взята точка К так, что В₁К: KC₁ = 2 : 3. Через точку К построена плоскость, параллельная плоскости диагонального сечения BB1D1D . Вычислите расстояния между плоскостями сечений, если известно, что ребро куба равно 10.

Пусть ребро куба равно $a = 10$. Плоскость, параллельная $BB_1D_1D$, будет проходить через точку K и пересекать ребра $A_1B_1$, $B_1C_1$, $C_1D_1$ и $D_1A_1$. Сечение будет прямоугольником. Плоскость сечения $BB_1D_1D$ делит ребро куба пополам. Так как $B_1K : KC_1 = 2 : 3$, то $B_1K = \frac{2}{5} B_1C_1 = \frac{2}{5}a = \frac{2}{5} * 10 = 4$. Расстояние между плоскостью $BB_1D_1D$ и плоскостью, проходящей через точку $K$ параллельно $BB_1D_1D$, будет равно расстоянию между точкой $B_1$ и точкой $K$, то есть $B_1K = 4$. Расстояние между плоскостями равно расстоянию от точки $K$ до плоскости $BB_1D_1D$, которое равно $B_1K = 4$. Ответ: Расстояние между плоскостями сечений равно 4.