2. Точка, расположенная на расстоянии 10 от плоскости равнобедренной трапеции, равноудалена от ее вершин. Диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне трапеции, равной 24 и образует с основанием угол 30°. Вычислите расстояние от данной точки до вершин трапеции.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD, где AD и BC основания, AB = CD = 24, BD перпендикулярна CD, угол BDA = 30 градусов. Точка O расположена на расстоянии 10 от плоскости трапеции и равноудалена от всех вершин. Опустим перпендикуляр OE из точки O на плоскость трапеции. Тогда E - центр окружности, описанной около трапеции. Так как BD перпендикулярна CD, то треугольник BCD - прямоугольный. Трапеция равнобедренная, поэтому около нее можно описать окружность. Угол BDA = 30, значит угол BCD = 90, угол CBD = 60, угол ADB = 30. Следовательно, AD - диаметр окружности. Значит, E - середина AD. В прямоугольном треугольнике BCD угол CBD = 60 градусов, поэтому BC = CD * cos(90) = 24, BD = 24sin(60) = 24 * sqrt(3) / 2 = 12sqrt(3) Так как угол BDA = 30, то AD = 2BD = 24sqrt(3) => AE = ED = BE = CE = 12sqrt(3). Пусть OA = OB = OC = OD = x. OE = 10. Тогда $x = \sqrt{OE^2 + AE^2} = \sqrt{10^2 + (12\sqrt{3})^2} = \sqrt{100 + 144 * 3} = \sqrt{100 + 432} = \sqrt{532}$ Ответ: Расстояние от данной точки до вершин трапеции равно $\sqrt{532}$.