В параллелограмме ABCD проведены перпендикуляры AM и CN к диагонали BD (см. рис. 150). Докажите, что AMCN - параллелограмм.

В параллелограмме ABCD, противоположные стороны попарно параллельны и равны, то есть AB || CD и AB = CD, а также AD || BC и AD = BC. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. По условию задачи AM и CN перпендикулярны к диагонали BD, то есть AM ⊥ BD и CN ⊥ BD. Из этого следует, что AM || CN, так как обе прямые перпендикулярны одной и той же прямой BD. Рассмотрим треугольники ABM и CDN: 1) ∠AMB = ∠CND = 90° (по условию). 2) Так как AB || CD, то ∠ABM = ∠CDN как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей BD. 3) Углы BAM и DCN равны, так как сумма углов в треугольнике 180 градусов и 2 других угла (ABM, AMB и CDN, CND) равны. Значит, треугольники ABM и CDN подобны. Так как AB=CD (свойства параллелограмма) и углы равны, треугольники ABM и CDN равны по гипотенузе и острому углу. Значит AM=CN. Итак, в четырехугольнике AMCN стороны AM и CN параллельны и равны. Этого достаточно для того, чтобы доказать, что AMCN - параллелограмм. **Ответ:** Поскольку AM || CN и AM = CN, четырехугольник AMCN является параллелограммом, что и требовалось доказать.