Постройте график функции $y = |x|(x - 2) - 4x$ и определите, при каких значениях $b$ прямая $y = b$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Разберем функцию $y = |x|(x-2) - 4x$ на два случая: **Случай 1: $x \geq 0$** Если $x \geq 0$, то $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = x(x - 2) - 4x = x^2 - 2x - 4x = x^2 - 6x$ Это парабола, ветви которой направлены вверх. Чтобы найти вершину параболы, используем формулу $x_в = - \frac{b}{2a}$: $x_в = -\frac{-6}{2*1} = 3$ $y_в = 3^2 - 6*3 = 9 - 18 = -9$ Вершина параболы: (3, -9). **Случай 2: $x < 0$** Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и функция принимает вид: $y = -x(x-2) - 4x = -x^2 + 2x - 4x = -x^2 - 2x$ Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину параболы: $x_в = -\frac{-2}{2*(-1)} = -1$ $y_в = -(-1)^2 - 2*(-1) = -1 + 2 = 1$ Вершина параболы: (-1, 1). Теперь построим график функции. При $x=0$, $y = 0$. Прямая $y=b$ будет иметь с графиком ровно две общие точки, если она проходит через вершину одной из парабол или если она касается графика в одной из точек. Из анализа графиков видно, что прямая $y = b$ будет иметь две общие точки: 1. Когда $y = 1$ (прямая проходит через вершину параболы $x < 0$) 2. Когда $y = -9$ (прямая проходит через вершину параболы $x \ge 0$). **Ответ:** Прямая $y = b$ имеет с графиком ровно две общие точки при $b = 1$ и $b = -9$.