10. Тип 9 № 7324 В параллелограмме \(ABCD\) диагональ \(AC\) в 2 раза больше стороны \(AB\) и \(\angle ACD = 169^\circ\). Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Пусть \(AB = x\), тогда \(AC = 2x\). Так как в параллелограмме противоположные стороны равны, то \(CD = AB = x\). Рассмотрим треугольник \(ACD\). В нем \(AC = 2x\), \(CD = x\). Пусть \(\angle CAD = \alpha\). Тогда по теореме синусов имеем: \[\frac{CD}{\sin \alpha} = \frac{AC}{\sin \angle ADC}\] Так как \(\angle ACD = 169^\circ\), то \(\angle ADC = 180^\circ - 169^\circ = 11^\circ\). \[\frac{x}{\sin \alpha} = \frac{2x}{\sin 11^\circ}\] \[\sin \alpha = \frac{x \cdot \sin 11^\circ}{2x} = \frac{\sin 11^\circ}{2}\] \[\sin \alpha = \frac{0.1908}{2} = 0.0954\] \[\alpha = \arcsin 0.0954 \approx 5.47^\circ\] Пусть \(O\) - точка пересечения диагоналей. Тогда \(\angle COD = \angle AOD\), так как это вертикальные углы. Угол \(OCA = \angle CAD = 5.47^\circ\) как накрест лежащие углы. В треугольнике \(COD\) известны два угла: \(\angle OCD = \angle ACD = 169^\circ - 180^\circ + 11^\circ = 11^\circ\), \(\angle ODC = \angle ADC = 11^\circ\). Третий угол \(\angle COD = 180^\circ - 11^\circ - 5.47^\circ = 163.53^\circ\). Тогда смежный с ним угол \(\angle AOD = 180^\circ - 163.53^\circ = 16.47^\circ\). Меньший угол между диагоналями равен приблизительно 16°.