10. Тип 10 № 7466 Основания трапеции равны 9 и 54, одна из боковых сторон равна 27, а косинус угла между ней и одним из оснований равен $\frac{\sqrt{65}}{9}$. Найдите площадь трапеции.

Обозначим основания трапеции как $a = 9$ и $b = 54$, а боковую сторону как $c = 27$. Пусть косинус угла между боковой стороной и основанием $b$ равен $\cos(\alpha) = \frac{\sqrt{65}}{9}$. Чтобы найти площадь трапеции, нам нужна высота $h$. Мы можем найти высоту, используя синус угла $\alpha$, где $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$. Следовательно, $$\sin^2(\alpha) = 1 - \cos^2(\alpha) = 1 - \left(\frac{\sqrt{65}}{9}\right)^2 = 1 - \frac{65}{81} = \frac{81 - 65}{81} = \frac{16}{81}$$ $$\sin(\alpha) = \sqrt{\frac{16}{81}} = \frac{4}{9}$$ Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой $h$, боковой стороной $c$ и частью основания $b$. Тогда $$\sin(\alpha) = \frac{h}{c}$$ $$h = c \cdot \sin(\alpha) = 27 \cdot \frac{4}{9} = 3 \cdot 4 = 12$$ Площадь трапеции равна $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{9 + 54}{2} \cdot 12 = \frac{63}{2} \cdot 12 = 63 \cdot 6 = 378$$ Ответ: 378