Тип 35 № 1295. В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Найдите \(\angle MPN\).

Решение: 1. В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам. Следовательно, \(\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ\). 2. Так как AM и CN – биссектрисы углов A и C соответственно, то \(\angle MAC = \frac{\angle A}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\) и \(\angle NCA = \frac{\angle C}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\). 3. Рассмотрим треугольник APC. \(\angle APC = 180^\circ - \angle MAC - \angle NCA = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ\). 4. \(\angle MPN = \angle APC\) как вертикальные углы. Следовательно, \(\angle MPN = 120^\circ\). Ответ: \(\angle MPN = 120^\circ\)