Тип 35 № 1296. В равностороннем треугольнике ABC биссектрисы CN и AM пересекаются в точке P. Найдите \(\angle CMP\).

Решение: 1. В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам. Следовательно, \(\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ\). 2. Так как AM – биссектриса угла A, то \(\angle CAM = \frac{\angle A}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\). 3. Так как CN – биссектриса угла C, то \(\angle ACN = \frac{\angle C}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ\). 4. Рассмотрим треугольник AMC. \(\angle AMC = 90^\circ\), так как медиана в равностороннем треугольнике является высотой. 5. Теперь найдем угол \(\angle CMP\): \(\angle CMP = \angle AMC - \angle AMP\). Угол \(\angle AMP = 180^\circ - \angle MAC - \angle ACM = 180^\circ - 30^\circ - 60^\circ = 90^\circ\). 6. Следовательно, \(\angle CMP = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). Ответ: \(\angle CMP = 60^\circ\)