Тип 35 № 1297. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение: 1. В прямоугольном треугольнике один угол равен 90 градусам. Пусть два других острых угла равны \(\alpha\) и \(\beta\). 2. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам. Следовательно, \(\alpha + \beta + 90^\circ = 180^\circ\), откуда \(\alpha + \beta = 90^\circ\). 3. Биссектрисы углов \(\alpha\) и \(\beta\) делят эти углы пополам. Обозначим половины углов как \(\frac{\alpha}{2}\) и \(\frac{\beta}{2}\). 4. Рассмотрим треугольник, образованный биссектрисами и стороной прямоугольного треугольника. Угол между биссектрисами (обозначим его \(\gamma\)) можно найти как \(\gamma = 180^\circ - \frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}\). 5. Подставим \(\alpha + \beta = 90^\circ\) в формулу для \(\gamma\): \(\gamma = 180^\circ - \frac{90^\circ}{2} = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ\). 6. Так как требуется найти острый угол между биссектрисами, а полученный угол \(\gamma = 135^\circ\) - тупой, найдем смежный с ним острый угол: \(180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\). Ответ: 45 градусов