4. Тип 18 № 4394. В параллелограмме ABCD биссектриса угла A, равного 60°, пересекает сторону BC в точке M. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 2. Запишите решение и ответ.

Так как AM - биссектриса угла A, то угол BAM равен углу MAD и равен $60^\circ / 2 = 30^\circ$. Поскольку AM и DM перпендикулярны, угол AMD равен $90^\circ$. В треугольнике AMD: угол MAD = $30^\circ$, угол AMD = $90^\circ$, следовательно, угол ADM = $180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$. В треугольнике ABM: угол BAM = $30^\circ$. Так как ABCD - параллелограмм, BC параллельна AD, следовательно, угол AMB = углу MAD = $30^\circ$. Таким образом, треугольник ABM - равнобедренный, и AB = BM = 2. Так как AM и DM перпендикулярны, угол AMD = $90^\circ$. Рассмотрим треугольник ADM. Поскольку сумма углов треугольника равна $180^\circ$, угол MAD = $30^\circ$, значит угол ADM = $60^\circ$. Тогда треугольник ADM является прямоугольным, где катет AM лежит против угла $60^\circ$ и угол MAD равен 30 градусам. Но так как угол ADM = $60^\circ$, следовательно, в треугольнике ADM: $AD = 2 \cdot AB = 2 \cdot 2= 4$. Поэтому $BC = AD = BM + MC = 4$, $MC = 4-2 = 2$, тогда угол MDC = углу ADM (т.к. AD параллельна BC и DM секущая). Т.е. угол ADM= MDC и DM - биссектриса. Так как $BC = AD = 4$, и $AB = CD = 2$, периметр параллелограмма равен $2(AB + BC) = 2(2 + 4) = 2 \cdot 6 = 12$. Таким образом, периметр параллелограмма равен **12**.