22. Тип 22 № 314407. При каких значениях $p$ вершины парабол $y = -x^2 + 2px + 3$ и $y = x^2 - 6px + p$ расположены по разные стороны от оси $x$?

Решение: 1. Найдем координаты вершин парабол. Вершина параболы $y = ax^2 + bx + c$ имеет абсциссу $x_в = -\frac{b}{2a}$. Ордината вершины $y_в$ находится путем подстановки $x_в$ в уравнение параболы. 2. Для первой параболы $y = -x^2 + 2px + 3$: $x_{в1} = -\frac{2p}{2 * (-1)} = p$. Тогда $y_{в1} = -(p)^2 + 2p(p) + 3 = -p^2 + 2p^2 + 3 = p^2 + 3$. 3. Для второй параболы $y = x^2 - 6px + p$: $x_{в2} = -\frac{-6p}{2 * 1} = 3p$. Тогда $y_{в2} = (3p)^2 - 6p(3p) + p = 9p^2 - 18p^2 + p = -9p^2 + p$. 4. Вершины парабол расположены по разные стороны от оси $x$, если знаки их ординат различны, то есть $y_{в1} * y_{в2} < 0$. 5. Составим неравенство: $(p^2 + 3)(-9p^2 + p) < 0$. 6. Так как $p^2 + 3 > 0$ для любого $p$, разделим обе части неравенства на $(p^2 + 3)$: $-9p^2 + p < 0$. 7. Вынесем $p$ за скобки: $p(-9p + 1) < 0$. 8. Найдем корни: $p = 0$ или $-9p + 1 = 0$, откуда $p = \frac{1}{9}$. 9. Решим неравенство методом интервалов. Рассмотрим интервалы $(-\infty; 0)$, $(0; \frac{1}{9})$, $(\frac{1}{9}; +\infty)$. * На интервале $(-\infty; 0)$, например, $p = -1$: $-1(-9 * (-1) + 1) = -1(9 + 1) = -10 < 0$. Неравенство выполняется. * На интервале $(0; \frac{1}{9})$, например, $p = \frac{1}{18}$: $\frac{1}{18}(-9 * \frac{1}{18} + 1) = \frac{1}{18}(-\frac{1}{2} + 1) = \frac{1}{18} * \frac{1}{2} = \frac{1}{36} > 0$. Неравенство не выполняется. * На интервале $(\frac{1}{9}; +\infty)$, например, $p = 1$: $1(-9 * 1 + 1) = -8 < 0$. Неравенство выполняется. Ответ: $p \in (-\infty; 0) \cup (\frac{1}{9}; +\infty)$.