370. Стороны угла \(BAC\), равного \(60^\circ\), касаются окружности с центром \(O\). Найдите длину отрезка \(OA\), если радиус окружности равен 5 см.

Решение: 1. Пусть стороны угла \(BAC\) касаются окружности в точках \(M\) и \(N\) соответственно. 2. Тогда \(OM \perp AM\) и \(ON \perp AN\) (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной). 3. \(OM = ON = 5\) см (радиусы окружности). 4. Рассмотрим четырехугольник \(AMON\). У него \(\angle MAN = 60^\circ\), \(\angle AMO = 90^\circ\) и \(\angle ANO = 90^\circ\). 5. Сумма углов четырехугольника равна \(360^\circ\), поэтому \(\angle MON = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 120^\circ\). 6. Рассмотрим треугольник \(AOM\). Он прямоугольный, \(\angle AMO = 90^\circ\). 7. \(AO\) - биссектриса угла \(MAN\), следовательно, \(\angle MAO = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ = 30^\circ\). 8. В прямоугольном треугольнике \(AOM\): \(\sin(\angle MAO) = \frac{OM}{OA}\) \(\sin(30^\circ) = \frac{5}{OA}\) \(\frac{1}{2} = \frac{5}{OA}\) \(OA = 10\) см. Ответ: 10 см