Сформулируйте и докажите теорему о биссектрисе угла.

Теорема о биссектрисе угла: * Формулировка: Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. * Доказательство: Пусть дан треугольник \(\triangle ABC\), и \(BL\) – биссектриса угла \(\angle B\). Тогда нужно доказать, что \(\frac{AL}{LC} = \frac{AB}{BC}\). Доказательство: 1. Проведём прямую \(CE\) параллельно \(BL\) до пересечения с прямой \(AB\) в точке \(E\). 2. \(\angle EBL = \angle BEC\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \(BL\) и \(CE\) и секущей \(BE\). 3. \(\angle LBC = \angle BCE\) как соответственные углы при параллельных прямых \(BL\) и \(CE\) и секущей \(BC\). 4. Так как \(BL\) – биссектриса, то \(\angle EBL = \angle LBC\). Следовательно, \(\angle BEC = \angle BCE\). 5. Тогда треугольник \(\triangle BEC\) – равнобедренный, и \(BE = BC\). 6. По теореме Фалеса (или по обобщённой теореме Фалеса) для параллельных прямых \(BL\) и \(CE\) имеем: \(\frac{AL}{LC} = \frac{AB}{BE}\). 7. Так как \(BE = BC\), то \(\frac{AL}{LC} = \frac{AB}{BC}\). Теорема доказана. В треугольнике \(\triangle ABC\) биссектриса \(BD\) угла \(B\) делит сторону \(AC\) на отрезки \(AD\) и \(DC\), пропорциональные сторонам \(AB\) и \(BC\) соответственно. То есть, \(\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}\).