Докажите, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство: 1. Пусть \(AA_1\) и \(BB_1\) - биссектрисы треугольника \(\triangle ABC\), пересекающиеся в точке \(O\). 2. Точка \(O\) равноудалена от сторон \(AC\) и \(AB\) (так как лежит на биссектрисе \(AA_1\)), а также равноудалена от сторон \(BC\) и \(AB\) (так как лежит на биссектрисе \(BB_1\)). 3. Следовательно, точка \(O\) равноудалена от сторон \(AC\) и \(BC\). Это означает, что точка \(O\) лежит на биссектрисе угла \(\angle C\). 4. Таким образом, биссектриса угла \(\angle C\) также проходит через точку \(O\), что и требовалось доказать. Иными словами, точка пересечения двух биссектрис треугольника является центром вписанной окружности, и эта окружность касается всех сторон треугольника.