Решите систему уравнений (Вариант 1): 4. \( \begin{cases} \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}, \\ x + y = 5. \end{cases} \)

Решение: 1. Выразим x из второго уравнения: (x = 5 - y). 2. Подставим это выражение в первое уравнение: \(\frac{1}{5-y} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\). 3. Приведем к общему знаменателю: \(\frac{y - (5 - y)}{y(5 - y)} = \frac{1}{6}\). 4. Упростим: \(\frac{2y - 5}{5y - y^2} = \frac{1}{6}\). 5. Перемножим крест-накрест: (6(2y - 5) = 5y - y^2). 6. Раскроем скобки: (12y - 30 = 5y - y^2). 7. Приведем к квадратному уравнению: (y^2 + 7y - 30 = 0). 8. Решим квадратное уравнение. Его дискриминант (D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169). 9. Найдем корни: (y_1 = \frac{-7 + \sqrt{169}}{2} = \frac{-7 + 13}{2} = 3) и (y_2 = \frac{-7 - \sqrt{169}}{2} = \frac{-7 - 13}{2} = -10). 10. Теперь найдем соответствующие значения x: - Если (y = 3), то (x = 5 - 3 = 2). - Если (y = -10), то (x = 5 - (-10) = 15). Ответ: Решениями системы уравнений являются ((2, 3)) и ((15, -10)).