1. Решите неравенство (x-1)^2 < \sqrt{2}(x-1).

Давайте решим это неравенство. **1. Перенесем все в одну сторону:** $(x-1)^2 - \sqrt{2}(x-1) < 0$ **2. Вынесем общий множитель (x-1) за скобки:** $(x-1)(x-1 - \sqrt{2}) < 0$ **3. Найдем нули выражения:** $x-1 = 0 \Rightarrow x = 1$ $x-1 - \sqrt{2} = 0 \Rightarrow x = 1 + \sqrt{2}$ **4. Решим неравенство методом интервалов. Отметим точки 1 и $1+\sqrt{2}$ на числовой прямой. Определим знаки выражения $(x-1)(x-1 - \sqrt{2})$ на каждом интервале:** * $x < 1$: $(x-1) < 0$, $(x-1 - \sqrt{2}) < 0$. Произведение двух отрицательных чисел положительно. $(x-1)(x-1 - \sqrt{2}) > 0$ * $1 < x < 1+\sqrt{2}$: $(x-1) > 0$, $(x-1 - \sqrt{2}) < 0$. Произведение положительного и отрицательного чисел отрицательно. $(x-1)(x-1 - \sqrt{2}) < 0$ * $x > 1+\sqrt{2}$: $(x-1) > 0$, $(x-1 - \sqrt{2}) > 0$. Произведение двух положительных чисел положительно. $(x-1)(x-1 - \sqrt{2}) > 0$ **5. Выберем интервал, где $(x-1)(x-1 - \sqrt{2}) < 0$.** Это интервал $(1; 1+\sqrt{2})$. **Ответ:** $x \in (1; 1+\sqrt{2})$.