1. Решите неравенство $(x-1)^2 < \sqrt{2}(x-1)$.

**Решение:** 1. Перенесем все члены неравенства в одну сторону: $(x-1)^2 - \sqrt{2}(x-1) < 0$. 2. Вынесем $(x-1)$ за скобки: $(x-1)(x-1 - \sqrt{2}) < 0$. 3. Найдем нули выражения $(x-1)(x-1 - \sqrt{2})$: $x-1 = 0$ или $x-1 - \sqrt{2} = 0$. $x = 1$ или $x = 1 + \sqrt{2}$. 4. Определим знаки выражения $(x-1)(x-1 - \sqrt{2})$ на интервалах, образованных нулями: * $x < 1$: $(x-1) < 0$, $(x-1-\sqrt{2}) < 0$, значит $(x-1)(x-1 - \sqrt{2}) > 0$. * $1 < x < 1+\sqrt{2}$: $(x-1) > 0$, $(x-1-\sqrt{2}) < 0$, значит $(x-1)(x-1 - \sqrt{2}) < 0$. * $x > 1+\sqrt{2}$: $(x-1) > 0$, $(x-1-\sqrt{2}) > 0$, значит $(x-1)(x-1 - \sqrt{2}) > 0$. 5. Выберем интервал, где $(x-1)(x-1 - \sqrt{2}) < 0$. Это интервал $1 < x < 1+\sqrt{2}$. **Ответ:** $x \in (1; 1+\sqrt{2})$. **Объяснение:** Мы решили неравенство, перенеся все члены в одну сторону, разложив на множители и определив знаки выражения на каждом интервале. Затем мы выбрали интервал, где выражение меньше нуля.