15. Площадь прямоугольного треугольника равна $\frac{800\sqrt{3}}{3}$. Один из острых углов равен $60^\circ$. Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°, угол A = 60°, тогда угол B = 30°. Площадь треугольника равна половине произведения катетов: $S = \frac{1}{2} * AC * BC$. Пусть AC - катет, лежащий напротив угла в 30°, а BC - катет, лежащий напротив угла в 60°. Тогда BC - искомый катет. Так как тангенс угла A равен отношению противолежащего катета к прилежащему, то $\tan{60^\circ} = \frac{BC}{AC}$. Отсюда $AC = \frac{BC}{\tan{60^\circ}} = \frac{BC}{\sqrt{3}}$. Подставим это значение в формулу площади: $S = \frac{1}{2} * \frac{BC}{\sqrt{3}} * BC = \frac{BC^2}{2\sqrt{3}}$. По условию $S = \frac{800\sqrt{3}}{3}$. Приравняем: $\frac{BC^2}{2\sqrt{3}} = \frac{800\sqrt{3}}{3}$. $BC^2 = \frac{800\sqrt{3} * 2\sqrt{3}}{3} = \frac{800 * 2 * 3}{3} = 1600$. $BC = \sqrt{1600} = 40$. Ответ: 40