Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 8,4, а AB = 4.

Решение: 1. Пусть O - центр окружности, радиус R = 8.4 / 2 = 4.2. 2. Так как окружность касается прямой AB в точке B, то OB перпендикулярно AB (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной). 3. Треугольник ABO является прямоугольным. 4. Продлим радиус OB до пересечения с окружностью в точке D. OD - диаметр. 5. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Угол ABC прямой. 6. По свойству секущей и касательной, AB^2 = AK * AD, где K - вторая точка пересечения AC с окружностью, а AD - диаметр окружности 7. В нашем случае, AD = 8.4 и AK = AC-2R. По условию AB = 4, тогда: \(AB^2 = AC * (AC - диаметр)\) \(4^2 = AC*(AC - 8.4)\) \(16 = AC^2 - 8.4 * AC\) \(AC^2 - 8.4 * AC - 16 = 0\) 8. Решим квадратное уравнение: \(AC = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) \(AC = \frac{8.4 \pm \sqrt{(-8.4)^2 - 4 * 1 * (-16)}}{2 * 1}\) \(AC = \frac{8.4 \pm \sqrt{70.56 + 64}}{2}\) \(AC = \frac{8.4 \pm \sqrt{134.56}}{2}\) \(AC = \frac{8.4 \pm 11.6}{2}\) \(AC1 = \frac{8.4 + 11.6}{2} = \frac{20}{2} = 10\) \(AC2 = \frac{8.4 - 11.6}{2} = \frac{-3.2}{2} = -1.6\) не подходит, так как сторона треугольника не может быть отрицательной. Ответ: AC = 10.