Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AP = 9, а сторона BC в 3 раза меньше стороны AB.

Так как точки B, K, P, C лежат на одной окружности, то четырёхугольник BKPC - вписанный. ∠AKP = ∠ABC (углы опираются на одну дугу BC). Аналогично, ∠APK = ∠ACB. Значит треугольники AKP и ABC подобны по двум углам. Если BC = x, то AB = 3x. Если AP = 9, то AB/AP = 3x / 9 = x/3. BC = 1/3 AB, значит KP = 1/3 AB. Из подобия треугольников, KP/BC = AP/AB. KP/BC = 9 / 3x => KP/x = 3/x => KP =3. Если BC в 3 раза меньше AB, то AP/AC = 1/3, тогда KP/BC = AP/AB = AP/3AP = 1/3, так как BC = 1/3AB. Раз AP=9, то AB=3AP=27. KP/BC=9/27=1/3. KP/x=1/3, x=1/3*AB=1/3*27=9, BC=9. KP = 1/3 BC, то есть KP = 3. Ответ: 3