2. Найти площадь круга, вписанного в треугольник со сторонами 10, 13 и 13 см.

Пусть дан треугольник со сторонами (a = 10), (b = 13), (c = 13). Это равнобедренный треугольник. Площадь круга, вписанного в треугольник, можно найти по формуле: \[ S = \pi r^2 \] где (r) - радиус вписанной окружности. Радиус вписанной окружности можно найти по формуле: \[ r = \frac{2S_{\triangle}}{a + b + c} \] где (S_{\triangle}) - площадь треугольника, (a), (b), (c) - стороны треугольника. Сначала найдем площадь треугольника. Так как треугольник равнобедренный, можно найти высоту, проведенную к основанию. Пусть (h) - высота, проведенная к основанию (a). Тогда: \[ h = \sqrt{b^2 - (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \] Площадь треугольника равна: \[ S_{\triangle} = \frac{1}{2} a h = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60 \] Теперь найдем радиус вписанной окружности: \[ r = \frac{2S_{\triangle}}{a + b + c} = \frac{2 \cdot 60}{10 + 13 + 13} = \frac{120}{36} = \frac{10}{3} \] Теперь найдем площадь круга: \[ S = \pi r^2 = \pi (\frac{10}{3})^2 = \pi \cdot \frac{100}{9} = \frac{100\pi}{9} \] Ответ: Площадь круга равна (\frac{100\pi}{9}) см(^2).