4. Найдите площадь ромба, сторона которого равна 25 см, а сумма диагоналей - 70 см.

Пусть \(d_1\) и \(d_2\) - диагонали ромба. Из условия известно, что \(d_1 + d_2 = 70\), и сторона ромба \(a = 25\) см. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Таким образом, половинки диагоналей и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора: \((\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2 = a^2\). \(\frac{d_1^2}{4} + \frac{d_2^2}{4} = 25^2\). \(d_1^2 + d_2^2 = 4 \cdot 625 = 2500\). Из условия \(d_1 + d_2 = 70\), выразим \(d_2 = 70 - d_1\). Подставим в уравнение \(d_1^2 + d_2^2 = 2500\): \(d_1^2 + (70 - d_1)^2 = 2500\). \(d_1^2 + 4900 - 140d_1 + d_1^2 = 2500\). \(2d_1^2 - 140d_1 + 2400 = 0\). \(d_1^2 - 70d_1 + 1200 = 0\). Решим квадратное уравнение: \(D = (-70)^2 - 4 \cdot 1200 = 4900 - 4800 = 100\). \(d_1 = \frac{70 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{70 \pm 10}{2}\). \(d_{11} = \frac{70 + 10}{2} = 40\), \(d_{12} = \frac{70 - 10}{2} = 30\). Если \(d_1 = 40\), то \(d_2 = 70 - 40 = 30\). Если \(d_1 = 30\), то \(d_2 = 70 - 30 = 40\). Площадь ромба: \(S = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot d_2 = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 30 = 600\) см². **Ответ:** 600 см²