6. Биссектриса острого угла прямоугольного треугольника делит катет на отрезки длиной 5 см и 13 см. Найдите площадь треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C - прямой. Пусть биссектриса угла A пересекает катет BC в точке D, так что BD = 5 см, DC = 13 см. Тогда BC = BD + DC = 5 + 13 = 18 см. По свойству биссектрисы треугольника, AB / AC = BD / DC = 5 / 13. Пусть AB = 5x, AC = 13x. По теореме Пифагора, AB² = AC² + BC², то есть (5x)² = (13x)² + 18². 25x² = 169x² + 324. Это невозможно, так как гипотенуза должна быть больше катета. Значит, биссектриса проведена не к гипотенузе, а к катету. Пусть AC - катет, который разделен биссектрисой. Тогда AD - биссектриса угла A, и AC разделена точкой D на отрезки AD1=5 см, AD2 = 13 см. Значит, AC = 5+13 = 18 см. Свойство биссектрисы: AB/BC = 13/5. Тогда AB=13x, BC=5x. По теореме пифагора: AB^2 = AC^2 + BC^2 => (13x)^2 = (18)^2 + (5x)^2. 169x^2 = 324 + 25x^2 => 144x^2 = 324 => x^2 = 324/144 = 9/4 => x=3/2 = 1.5. BC = 5*1.5=7.5 cm. Площадь равна: S= 1/2*AC*BC = 1/2*18*7.5 = 9*7.5 = 67.5 кв см. **Ответ:** 67.5 см²