5. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 8√3 см, а острый угол - 60°. Найдите площадь трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность.

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AB = 8√3 см - меньшая боковая сторона, угол ADC = 60°. Так как в трапецию можно вписать окружность, то суммы ее противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD. В прямоугольной трапеции AB - высота. Из вершины C опустим высоту CE на AD. Тогда AECD - прямоугольник, и CE = AB = 8√3 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник CED. Угол CDE = 60°. Тогда CD = CE / sin(60°) = (8√3) / (√3/2) = 16 см. Поскольку AB + CD = BC + AD, то AD + BC = 8√3 + 16. Пусть BC = x, тогда AD = 8√3 + 16 - x. ED = AD - AE = AD - BC = 8√3 + 16 - 2x. В прямоугольном треугольнике CED: ED = CE * ctg(60°) = 8√3 * (1/√3) = 8. Тогда 8√3 + 16 - 2x = 8, откуда 2x = 8√3 + 8, и x = 4√3 + 4. Таким образом, BC = 4√3 + 4, AD = 8√3 + 16 - (4√3 + 4) = 4√3 + 12. Площадь трапеции равна: S = ((BC + AD) / 2) * AB = ((4√3 + 4 + 4√3 + 12) / 2) * 8√3 = ((8√3 + 16) / 2) * 8√3 = (4√3 + 8) * 8√3 = 96 + 64√3 см². **Ответ:** 96 + 64√3 см²