Контрольная работа №2, Вариант 2. Задача 2: Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, основание которого квадрат. $AC = 6\sqrt{2}$ см, $AB_1 = 4\sqrt{3}$ см. Вычислите градусную меру двугранного угла $B_1ADB$.

Решение: Так как в основании лежит квадрат $ABCD$, $AC = 6\sqrt{2}$. Следовательно, $AB = BC = CD = AD = 6$. Рассмотрим треугольник $ABB_1$: $AB_1 = 4\sqrt{3}$ см. Так как параллелепипед прямоугольный, то $BB_1 \perp AB$. Тогда, $BB_1 = \sqrt{(AB_1)^2 - (AB)^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 - 6^2} = \sqrt{48 - 36} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ см. Рассмотрим треугольник $ADB_1$. Опустим перпендикуляр $B_1K$ на плоскость основания. Пусть точка K будет проекцией точки $B_1$ на основание $ABCD$. Тогда $\angle B_1KB = 90^{\circ}$. Тогда $KB=AB/2=3$ см. Точка O будет пересечением AC и BD. AO = AC/2 $\tan \alpha= BB_1/AD= dfrac{2\sqrt{3}}{6}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$. То есть искомый угол равен 30 градусам.