Контрольная работа №1, Вариант 1. Задача 1: Через середину M стороны AD квадрата ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр MK, равный $6\sqrt{3}$ см. Сторона квадрата равна 12 см. Вычислите: а) расстояние от точки K до прямой BC; б) площади треугольника AKB и его проекции на плоскость квадрата; в) расстояние между прямыми AK и BC.

Решение: а) Расстояние от точки K до прямой BC равно длине отрезка ML, где L - проекция точки K на BC. Так как MK перпендикулярна плоскости квадрата, то MKL - прямоугольный треугольник. Также, ML = AB = 12 см (так как ABCD квадрат). Тогда расстояние от K до BC равно 12 см. б) Площадь треугольника AKB. Проекция треугольника AKB на плоскость квадрата - это треугольник AMB. Площадь AMB равна $\frac{1}{2} * AM * AB = \frac{1}{2} * 6 * 12 = 36$ кв. см. Чтобы найти площадь треугольника AKB, нам нужно найти AK. AM = 6 см, MK = $6\sqrt{3}$ см. $AK = \sqrt{AM^2 + MK^2} = \sqrt{6^2 + (6\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 108} = \sqrt{144} = 12$ см. Так как $\angle AMK = 90^{\circ}$, то $AK = \sqrt{AM^2 + MK^2}$. Высота треугольника AKB, проведенная к AB - это корень из суммы квадрата MK и квадрата высоты от M до AB, что является AM. Значит высота равна KM. Получается $S_{AKB} = \frac{1}{2} * AB * KM = \frac{1}{2} * 12 * 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3}$ кв. см. в) Расстояние между прямыми AK и BC. Так как MK перпендикулярна плоскости квадрата, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Расстояние между прямыми AK и BC равно расстоянию между прямой AK и ее проекцией на плоскость ABCD, содержащую BC. Проекцией AK на эту плоскость является AM, так как MK перпендикулярна плоскости. Далее, строим перпендикуляр из M к BC, который есть середина AD, следовательно, M до BC = стороне квадрата, то есть 12. Расстояние между AK и BC это длинна перпендикуляра опущенного из точки K на прямую проходящую параллельно BC через точку M, то есть на прямую BC. Это расстояние равно 12 см.