Контрольная работа №1, Вариант 1. Задача 2: Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. $AC = 13$ см, $DC = 5$ см, $AA_1 = 12\sqrt{3}$ см. Вычислите градусную меру двугранного угла $ADCA_1$.

Решение: Двугранный угол $ADCA_1$ - это угол между плоскостями $ADC$ и $A_1DC$. Угол между плоскостями - это угол между перпендикулярами к линии пересечения этих плоскостей, проведенными в этих плоскостях. Линия пересечения этих плоскостей - DC. Так как $ABCD$ - прямоугольник, то $AD \perp DC$ и $A_1D \perp DC$. Тогда угол $ADA_1$ - это угол между плоскостями. $\angle ADA_1$ - прямой, так как AA1 перпендикулярен плоскости $ABCD$. Треугольник ADC: $AD = \sqrt{AC^2 - DC^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см. Рассмотрим треугольник ADA1: $\tan(\angle ADA_1) = \frac{AA_1}{AD} = \frac{12\sqrt{3}}{12} = \sqrt{3}$. Значит, $\angle ADA_1 = \arctan(\sqrt{3}) = 60^{\circ}$.