Контрольная работа №2, Вариант 2. Задача 1: Через середину E гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC проведен к его плоскости перпендикуляр EM, равный $4\sqrt{5}$ см. $AC = BC = 16$ см, $\angle C = 90^{\circ}$. Вычислите: а) расстояние от точки M до прямой AC; б) площади треугольника ACM и его проекции на плоскость данного треугольника; в) расстояние между прямыми EM и BC.

Решение: а) Расстояние от точки M до прямой AC. Пусть K - середина AC. Тогда EK - медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе. Значит, EK = $\frac{1}{2}$AB. Так как $AC = BC = 16$, то $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{16^2 + 16^2} = 16\sqrt{2}$ см. Тогда, AE = EB = $8\sqrt{2}$ см. EK = $8\sqrt{2}$ см. Так как EM перпендикулярна плоскости ABC, то EM перпендикулярна EK. Следовательно, MKE - прямоугольный треугольник. Чтобы найти расстояние от M до AC, нужно найти длину перпендикуляра, опущенного из M на AC. Пусть L - проекция точки M на AC. Рассмотрим треугольник AEM. Тогда $ME = 4\sqrt{5}$, и $AE = 8\sqrt{2}$. Найдем расстояние от E до AC. В прямоугольном равнобедренном треугольнике ABC, расстояние от E (середины гипотенузы AB) до AC - половина BC. То есть, расстояние от E до AC равно 8 см. Значит, расстояние от M до AC можно найти как корень из суммы квадратов EM и расстояния от E до AC. $ML = \sqrt{EM^2 + EL^2} = \sqrt{(4\sqrt{5})^2 + 8^2} = \sqrt{80 + 64} = \sqrt{144} = 12$ см. б) Площадь треугольника ACM и его проекции на плоскость данного треугольника. Проекция треугольника ACM на плоскость ABC - это треугольник ACE, где E - середина AB. $S_{ACE} = \frac{1}{2} * AC * CE$. Для нахождения CE воспользуемся теоремой Пифагора в треугольнике BCE: $CE = \sqrt{BC^2 + BE^2} = \sqrt{16^2 - (8\sqrt{2})^2}$. $AE=BE = \frac{AB}{2}=8\sqrt{2}$ $S_{ABC}=\frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2} 16 \cdot 16 = 128 S_{AEC}=\frac{1}{2} S_{ABC}=64$ Далее рассматриваем треугольник ACM, так как ME перпендикулярна плоскости АВС, высота из М на АС= $\sqrt{ME^2 + AE^2}=\sqrt{80 + 64} = 12$ Тога $S_{ACM} = \frac{1}{2} * 16 * 12 = 96$ в) Расстояние между прямыми EM и BC. Так как EM перпендикулярна плоскости ABC, то EM перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Расстояние между прямыми EM и BC равно расстоянию от точки E до прямой BC. Расстояние от середины гипотенузы до катета в прямоугольном треугольнике равно половине другого катета. Расстояние от E до BC равно $\frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см.