7 класс, К-6, В-1, Задача 2: Угол между диаметром AB и хордой AC равен 30°. Через точку C проведена касательная, пересекающая прямую AB в точке D. Докажите, что треугольник ACD – равнобедренный. Найдите длину отрезка DC, если AC = 15 см.

1. \( \angle BAC = 30^\circ \) 2. \( \angle ACB = 90^\circ \) (угол, опирающийся на диаметр – прямой). 3. \( \angle ABC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \) 4. \( CD \) – касательная к окружности, следовательно, \( \angle ACD = \angle ABC = 60^\circ \) (угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду). 5. \( \angle CAD = 180^\circ - \angle ACD - \angle ADC \). \( \angle ADC = 180^\circ - \angle CDB \). Также \( \angle CDB \) – внешний угол треугольника \( ABC \), следовательно, \( \angle CDB = \angle BAC + \angle ACB = 30^\circ + 90^\circ = 120^\circ \). Тогда \( \angle ADC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \). 6. \( \angle CAD = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ \). 7. Таким образом, \( \angle CAD = \angle ACD = 60^\circ \), значит, треугольник \( ACD \) равнобедренный (а точнее, равносторонний). 8. Так как треугольник \( ACD \) равносторонний, \( DC = AC = 15 \text{ см} \). Ответ: \( DC = \textbf{15 см} \)