7 класс, К-6, В-2, Задача 2: Прямые AB и AC касаются окружности с центром O в точках B и C. Найдите BC, если \(\angle OAB = 30^\circ\), AB = 6 см.

1. Так как AB и AC касаются окружности в точках B и C, то OB перпендикулярна AB и OC перпендикулярна AC. То есть, \(\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ\). 2. \(AO\) - биссектриса \( \angle BAC \), а \( \angle OAB = \angle OAC = 30^\circ\), то \( \angle BAC = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ\). 3. Рассмотрим треугольник \(ABO\), он прямоугольный, \(AB = 6 \text{ см}\) и \(\angle OAB = 30^\circ\). Следовательно, \(OB = AB \cdot \tan(30^\circ) = 6 / \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\) (радиус окружности). 4. \(OB = OC = 2\sqrt{3}\) (радиусы одной окружности). 5. Треугольник \(BOC\) - равнобедренный, так как \(OB = OC\). 6. Углы \(OBA\) и \(OCA\) прямые, значит, \( \angle AOB = \angle AOC\), а значит \( \angle BOC = 120^\circ\). 7. По теореме косинусов: \[BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 \cdot OB \cdot OC \cdot \cos(\angle BOC)\] \[BC^2 = (2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot (2\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{3}) \cdot \cos(120^\circ)\] \[BC^2 = 12 + 12 - 2 \cdot 12 \cdot (-\frac{1}{2}) = 24 + 12 = 36\] \[BC = \sqrt{36} = 6 \text{ см}\] Ответ: \(BC = \textbf{6 см}\)