25. Из вершины прямого угла C прямоугольного треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник ACP, равен 45, тангенс угла BAC равен 8/15. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник BCP.

Здравствуйте! 1. Обозначим радиус окружности, вписанной в треугольник $ACP$, как $r_1 = 45$. Обозначим радиус окружности, вписанной в треугольник $BCP$, как $r_2$. Необходимо найти $r_2$. 2. Дано: $\tan(\angle BAC) = \frac{8}{15}$. В прямоугольном треугольнике $ABC$, $\angle BAC + \angle ABC = 90^{\circ}$. 3. Поскольку $CP$ - высота, опущенная из вершины прямого угла $C$, то $\triangle ACP \sim \triangle ABC \sim \triangle BCP$. 4. Из подобия треугольников следует, что $\angle BAC = \angle BCP$. Обозначим $\angle BAC = \alpha$. Тогда $\angle BCP = \alpha$. 5. $ an(\angle BCP) = \tan(\alpha) = \frac{8}{15}$. 6. В подобных треугольниках отношение радиусов вписанных окружностей равно коэффициенту подобия. То есть $\frac{r_1}{r_2} = \frac{AC}{BC}$. 7. В прямоугольном треугольнике $ABC$, $\tan(\alpha) = \frac{BC}{AC} = \frac{8}{15}$. Следовательно, $\frac{AC}{BC} = \frac{15}{8}$. 8. Тогда $\frac{r_1}{r_2} = \frac{15}{8}$. Подставим известное значение $r_1 = 45$: $\frac{45}{r_2} = \frac{15}{8}$ 9. Выразим $r_2$: $r_2 = \frac{45 \cdot 8}{15} = \frac{3 \cdot 8}{1} = 24$ Ответ: Радиус окружности, вписанной в треугольник $BCP$, равен 24.