18. Из точки M к окружности с центром O проведены касательные MA и MB. Найдите расстояние между точками касания А и В, если \(\angle AOB = 120^{\circ}\) и MO = 4.

Так как MA и MB – касательные к окружности, то углы MAO и MBO прямые, то есть $\angle MAO = \angle MBO = 90^{\circ}$. Рассмотрим четырехугольник MAOB. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. Следовательно: $\angle AMB = 360^{\circ} - \angle MAO - \angle MBO - \angle AOB = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$. Рассмотрим треугольник AOM. Он прямоугольный, так как MA – касательная. $\angle AOM = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 120^{\circ} = 60^{\circ}$. Так как $\sin(\angle AOM) = \frac{AM}{OM}$, то $AM = OM \cdot \sin(60^{\circ})$. $AM = 4 \cdot \sin(60^{\circ}) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$. Рассмотрим треугольник AMB. Он равнобедренный, так как MA = MB (касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны). Угол AMB равен 60 градусов, следовательно, треугольник AMB – равносторонний, и AB = AM = MB. Значит, AB = $2\sqrt{3}$. Ответ: $2\sqrt{3}$