10. \(CK\) - медиана треугольника \(ABC\), площадь которого \(240\) см². Точка \(E\) - середина медианы \(CK\). Луч \(AE\) пересекает сторону \(BC\) в точке \(M\). Найдите площадь четырехугольника \(KEMB\).

Поскольку \(CK\) - медиана, то площадь \(\triangle ACK = \triangle BCK = \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{2} cdot 240 = 120\) см². Так как \(E\) - середина \(CK\), то \(CE = EK\). Следовательно, \(S_{\triangle ACE} = S_{\triangle AKE}\). Обозначим \(S_{\triangle ACE} = x\). Тогда \(S_{\triangle AKE} = x\). Так как \(S_{\triangle ACK} = S_{\triangle ACE} + S_{\triangle AKE} = 2x\), то \(2x = 120\), откуда \(x = 60\). Значит, \(S_{\triangle ACE} = S_{\triangle AKE} = 60\) см². По теореме Менелая для треугольника \(BCK\) и прямой \(AE\) имеем: \(\frac{BE}{EK} \cdot \frac{KA}{AC} \cdot \frac{CM}{MB} = 1\). По условию \(CE=EK, BE=EC\), следовательно \(\frac{CE}{EK} = 1\). Таким образом \(\frac{CM}{MB}=\frac{CK}{KA} = \frac{1}{2}\). \(BM = 2MC\). Тогда \(BM = \frac{2}{3}BC\), и \(MC = \frac{1}{3}BC\). Площадь \(\triangle ABM = \frac{BM}{BC} \cdot S_{\triangle ABC} = \frac{2}{3} S_{\triangle ABC}\) Площадь \(\triangle ABM = \frac{2}{3} \cdot 240 = 160\) Площадь \(\triangle ACM = \frac{1}{3} \cdot 240 = 80\) Найдем площадь \(KEMB\). \(S_{KEMB} = S_{\triangle BCK} - S_{\triangle CME} = 120 - S_{\triangle CME}\). \(S_{\triangle CME} = \frac{ME}{AE} S_{\triangle ACE} = \frac{CM}{BC}S_{\triangle BCE} = \frac{1}{3}S_{\triangle BCE} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}S_{\triangle BCK} = \frac{1}{6} 120= 20\) \(S_{KEMB} = 120 -20 = 100\) Ответ: 100 см².