10. (2 бали) При якому значенні $a$ рівняння $3x^2 - 6x + a = 0$ має один корінь? Знайдіть цей корінь.

Рівняння має один корінь, коли дискримінант дорівнює нулю. $D = b^2 - 4ac = 0$ У нашому випадку $a = 3$, $b = -6$, $c = a$. $(-6)^2 - 4 cdot 3 cdot a = 0$ $36 - 12a = 0$ $12a = 36$ $a = \frac{36}{12} = 3$ Отже, при $a = 3$ рівняння має один корінь. Щоб знайти корінь, розв'яжемо рівняння $3x^2 - 6x + 3 = 0$: $3(x^2 - 2x + 1) = 0$ $3(x - 1)^2 = 0$ $(x - 1)^2 = 0$ $x - 1 = 0$ $x = 1$ Відповідь: $a = 3$, корінь $x = 1$.