932. Докажите, что при любых значениях x квадратный трехчлен: а) x² - 14x + 50 принимает лишь положительные значения; б) -x² + 6x - 11 принимает лишь отрицательные значения; в) -1/9x² + 2x - 9 не принимает положительных значений; г) 2x² - 8x + 9 не принимает отрицательных значений.

Для доказательства утверждений о знаке квадратного трехчлена, мы будем использовать выделение полного квадрата и анализ получившегося выражения. а) \(x^2 - 14x + 50\). Выделим полный квадрат: \(x^2 - 14x + 49 + 1 = (x - 7)^2 + 1\). Так как \((x-7)^2\) всегда неотрицательно, то \((x - 7)^2 + 1\) всегда больше 0. Следовательно, \(x^2 - 14x + 50\) принимает только положительные значения. б) \(-x^2 + 6x - 11\). Вынесем минус за скобку: \(-(x^2 - 6x + 11)\). Выделим полный квадрат внутри скобок: \(-(x^2 - 6x + 9 + 2) = -((x - 3)^2 + 2)\) = \(-(x - 3)^2 - 2\). Так как \((x - 3)^2\) всегда неотрицательно, то \(-(x - 3)^2\) всегда неположительно, а \(-(x - 3)^2 - 2\) всегда меньше 0. Следовательно, \(-x^2 + 6x - 11\) принимает только отрицательные значения. в) \(-\frac{1}{9}x^2 + 2x - 9\). Вынесем \(-\frac{1}{9}\) за скобку: \(-\frac{1}{9}(x^2 - 18x + 81)\). Выделим полный квадрат внутри скобок: \(-\frac{1}{9}(x^2 - 18x + 81) = -\frac{1}{9}(x - 9)^2\). Так как \((x-9)^2\) всегда неотрицательно, то \(-\frac{1}{9}(x-9)^2\) всегда неположительно, то есть меньше или равно 0. Следовательно, \(-\frac{1}{9}x^2 + 2x - 9\) не принимает положительных значений. г) \(2x^2 - 8x + 9\). Вынесем 2 за скобку: \(2(x^2 - 4x) + 9\). Выделим полный квадрат внутри скобок: \(2(x^2 - 4x + 4) - 8 + 9 = 2(x - 2)^2 + 1\). Так как \((x-2)^2\) всегда неотрицательно, то \(2(x-2)^2\) всегда неотрицательно, а \(2(x - 2)^2 + 1\) всегда больше 0. Следовательно, \(2x^2 - 8x + 9\) не принимает отрицательных значений.