7. Докажите, что значение выражения 7³⁵ + 2 кратно 5.

Для доказательства, что 7³⁵ + 2 кратно 5, рассмотрим остатки от деления степеней 7 на 5. 7¹ при делении на 5 дает остаток 2. 7² = 49 при делении на 5 дает остаток 4. 7³ = 343 при делении на 5 дает остаток 3. 7⁴ = 2401 при делении на 5 дает остаток 1. 7⁵ при делении на 5 даст остаток 2 (цикл повторится). Остатки от деления степеней 7 на 5 повторяются с периодом 4: 2, 4, 3, 1. Поскольку 35 = 4 * 8 + 3, то 7³⁵ при делении на 5 даст остаток, такой же, как и у 7³, то есть 3. Следовательно, 7³⁵ = 5k + 3 для некоторого целого k. Тогда 7³⁵ + 2 = 5k + 3 + 2 = 5k + 5 = 5(k + 1). Поскольку это выражение делится на 5, то оно кратно 5. Значит, значение выражения 7³⁵ + 2 кратно 5, что и требовалось доказать.