5. Решите неравенство (2x+3)/√(6x²+7x-3) ≥ 2

\(\frac{2x+3}{\sqrt{6x^2+7x-3}} \geq 2\) 1. ОДЗ: \(6x^2 + 7x - 3 > 0\). Решаем квадратное уравнение \(6x^2 + 7x - 3 = 0\): \(x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 4(6)(-3)}}{12} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 + 72}}{12} = \frac{-7 \pm \sqrt{121}}{12} = \frac{-7 \pm 11}{12}\). Корни: \(x_1 = \frac{-7 - 11}{12} = \frac{-18}{12} = -\frac{3}{2}\), \(x_2 = \frac{-7 + 11}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\). Значит, \(x \in (-\infty, -\frac{3}{2}) \cup (\frac{1}{3}, +\infty)\) 2. Умножаем обе части на \(\sqrt{6x^2+7x-3}\) (оно положительно по ОДЗ): \(2x + 3 \geq 2\sqrt{6x^2+7x-3}\) 3. Возводим обе части в квадрат: \((2x+3)^2 \geq 4(6x^2+7x-3)\) 4. \(4x^2 + 12x + 9 \geq 24x^2 + 28x - 12\) 5. \(0 \geq 20x^2 + 16x - 21\) 6. Решаем квадратное уравнение \(20x^2 + 16x - 21 = 0\): \(x = \frac{-16 \pm \sqrt{256 - 4(20)(-21)}}{40} = \frac{-16 \pm \sqrt{256 + 1680}}{40} = \frac{-16 \pm \sqrt{1936}}{40} = \frac{-16 \pm 44}{40}\). Корни: \(x_1 = \frac{-16 - 44}{40} = \frac{-60}{40} = -\frac{3}{2}\), \(x_2 = \frac{-16 + 44}{40} = \frac{28}{40} = \frac{7}{10}\) 7. Значит, \(20x^2 + 16x - 21 \leq 0\) при \(x \in [-\frac{3}{2}, \frac{7}{10}]\) 8. Учитывая ОДЗ: \(x \in (\frac{1}{3}, \frac{7}{10}]\)