1. Решите простейшие неравенства: a) √2x - 1 < 3 б) √x² + 3x ≤ 2 в) (1/2)^x ≥ 1/8 г) 250*(1/5)^x < 2 д) log₃ x ≥ -1 е) log₃ (3x-1) < 1

a) \(\sqrt{2x - 1} < 3\) 1. ОДЗ: \(2x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}\) 2. Возводим обе части в квадрат: \(2x - 1 < 9\) 3. Решаем неравенство: \(2x < 10 \Rightarrow x < 5\) 4. Учитывая ОДЗ: \(\frac{1}{2} \leq x < 5\) б) \(\sqrt{x^2 + 3x} \leq 2\) 1. ОДЗ: \(x^2 + 3x \geq 0 \Rightarrow x(x+3) \geq 0 \Rightarrow x \in (-\infty, -3] \cup [0, +\infty)\) 2. Возводим обе части в квадрат: \(x^2 + 3x \leq 4\) 3. Решаем неравенство: \(x^2 + 3x - 4 \leq 0 \Rightarrow (x+4)(x-1) \leq 0 \Rightarrow x \in [-4, 1]\) 4. Учитывая ОДЗ: \(x \in [-4, -3] \cup [0, 1]\) в) \(\left(\frac{1}{2}\right)^x \geq \frac{1}{8}\) 1. Представим \(\frac{1}{8}\) как \(\left(\frac{1}{2}\right)^3\) 2. \(\left(\frac{1}{2}\right)^x \geq \left(\frac{1}{2}\right)^3\) 3. Так как основание меньше 1, знак неравенства меняется: \(x \leq 3\) г) \(250 \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^x < 2\) 1. Делим обе части на 250: \(\left(\frac{1}{5}\right)^x < \frac{2}{250} = \frac{1}{125}\) 2. Представим \(\frac{1}{125}\) как \(\left(\frac{1}{5}\right)^3\) 3. \(\left(\frac{1}{5}\right)^x < \left(\frac{1}{5}\right)^3\) 4. Так как основание меньше 1, знак неравенства меняется: \(x > 3\) д) \(\log_3 x \geq -1\) 1. \(x \geq 3^{-1} = \frac{1}{3}\) 2. ОДЗ: \(x > 0\) 3. \(x \geq \frac{1}{3}\) е) \(\log_3 (3x-1) < 1\) 1. ОДЗ: \(3x - 1 > 0 \Rightarrow x > \frac{1}{3}\) 2. \(3x - 1 < 3^1 = 3\) 3. \(3x < 4 \Rightarrow x < \frac{4}{3}\) 4. Учитывая ОДЗ: \(\frac{1}{3} < x < \frac{4}{3}\)