4. Решите неравенство: a) (x-3)/(x+7)>0; б) (x²+6x+8)/(x²-9)<0; в) (x²-7x+10)/(x+6) ≤ 0.

a) \(\frac{x-3}{x+7} > 0\) 1. Найдем нули числителя и знаменателя: x - 3 = 0 -> x = 3, x + 7 = 0 -> x = -7. 2. Разделим числовую прямую на интервалы: (-\infty, -7), (-7, 3), (3, +\infty). 3. Проверим знаки на интервалах, выбрав числа из каждого интервала. Например, -8, 0, 4. - Для x = -8: (-11)/(-1) > 0 (знак плюс) - Для x = 0: (-3)/(7) < 0 (знак минус) - Для x = 4: (1)/(11) > 0 (знак плюс) 4. Выбираем интервалы, где знак неравенства больше нуля: (-\infty, -7) U (3, +\infty). Ответ: \((-\infty, -7) \cup (3, +\infty)\) б) \(\frac{x^2 + 6x + 8}{x^2 - 9} < 0\) 1. Разложим на множители: числитель \(x^2+6x+8 = (x+2)(x+4)\); знаменатель \(x^2-9=(x-3)(x+3)\). Получаем: \(\frac{(x+2)(x+4)}{(x-3)(x+3)} < 0\). 2. Найдем нули: x = -2, x = -4, x = 3, x = -3. 3. Разделим числовую прямую на интервалы: (-\infty, -4), (-4, -3), (-3, -2), (-2, 3), (3, +\infty). 4. Проверим знаки на интервалах, выбрав числа из каждого интервала. Например, -5, -3.5, -2.5, 0, 4. - Для x = -5: ( -3)(-1)/(-8)(-2) > 0 (знак плюс) - Для x = -3.5: (-1.5)(0.5)/(-6.5)(-0.5) < 0 (знак минус) - Для x = -2.5: (-0.5)(1.5)/(-5.5)(0.5) > 0 (знак плюс) - Для x = 0: (2)(4)/(-3)(3) < 0 (знак минус) - Для x = 4: (6)(8)/(1)(7) > 0 (знак плюс) 5. Выбираем интервалы, где знак неравенства меньше нуля: (-4, -3) U (-2, 3). Ответ: \((-4, -3) \cup (-2, 3)\) в) \(\frac{x^2 - 7x + 10}{x + 6} \leq 0\) 1. Разложим на множители: числитель \(x^2 - 7x + 10 = (x-2)(x-5)\). Получаем: \(\frac{(x-2)(x-5)}{x+6} \leq 0\). 2. Найдем нули: x = 2, x = 5, x = -6. 3. Разделим числовую прямую на интервалы: (-\infty, -6), (-6, 2), (2, 5), (5, +\infty). 4. Проверим знаки на интервалах, выбрав числа из каждого интервала. Например, -7, 0, 3, 6. - Для x = -7: (-9)(-12)/(-1) < 0 (знак минус) - Для x = 0: (-2)(-5)/(6) > 0 (знак плюс) - Для x = 3: (1)(-2)/(9) < 0 (знак минус) - Для x = 6: (4)(1)/(12) > 0 (знак плюс) 5. Выбираем интервалы, где знак неравенства меньше или равно нуля: (-\infty, -6) U [2, 5]. Ответ: \((-\infty, -6) \cup [2, 5]\)