29. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK=8, DK=16, BC=4. Найдите AD.

По свойству секущихся прямых, проведенных из одной точки к окружности, имеем: $KB * KA = KD * KC$. Заметим, что $KA = KB + BA$ и $KC = KD + DC$, где BA и DC являются хордами окружности, а KA и KC - секущими, пересекающими окружность. Запишем уравнения: $BK * (BK + AB) = DK * (DK + DC)$ $BK*KA = DK*KC$ Также, из условия имеем $BK = 8$, $DK = 16$, $BC = 4$. По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд для точки K имеем, что если четырехугольник ABCD вписан в окружность, то для точки пересечения K прямых AB и CD справедливо соотношение $KB · KA = KC · KD$. Также, по свойству подобных треугольников (треугольники BCK и DAK подобны, так как углы при K общие, а углы B и D опираются на одну и ту же дугу AC): $BC/AD = BK/DK$. Отсюда $AD = (BC * DK) / BK = (4 * 16) / 8 = 64 / 8 = 8$. Ответ: 8.