25. В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80 и площадь которой равна 320, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD > BC$. Так как в трапецию можно вписать окружность, то сумма длин ее боковых сторон равна сумме длин оснований: $AB + CD = AD + BC$. Поскольку трапеция равнобедренная, $AB = CD$, и, следовательно, $2AB = AD + BC$. Периметр трапеции равен $P = AB + CD + AD + BC = 2AB + AD + BC = 80$. Заменяя $AD + BC$ на $2AB$, получаем $2AB + 2AB = 4AB = 80$, откуда $AB = 20$. Площадь трапеции равна $S = \frac{AD + BC}{2} cdot h = 320$, где $h$ - высота трапеции. Так как $AD + BC = 2AB = 40$, получаем $\frac{40}{2} cdot h = 20h = 320$, откуда $h = 16$. Поскольку в трапецию вписана окружность, ее высота равна двум радиусам этой окружности, то есть $h = 2r$, где $r$ - радиус окружности. Тогда $2r = 16$, откуда $r = 8$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей трапеции. Треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны с коэффициентом подобия $k = \frac{BC}{AD}$. Поскольку $AD + BC = 40$, то $AD = 40 - BC$. Высоты этих треугольников, проведенные из точки $O$ к основаниям $BC$ и $AD$ соответственно, также относятся как $BC/AD$. Пусть $h_1$ — высота треугольника $BOC$, а $h_2$ — высота треугольника $DOA$. Тогда $h_1 + h_2 = h = 16$, и $\frac{h_1}{h_2} = \frac{BC}{AD}$. Учитывая, что $AD = 40 - BC$, получаем $\frac{h_1}{16 - h_1} = \frac{BC}{40 - BC}$. Из условия вписанности окружности в трапецию следует $AD + BC = AB + CD$, а так как трапеция равнобедренная, то $AB=CD$, тогда $AD + BC = 2AB = 2 \cdot 20 = 40$, $AD = 40 - BC$. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой трапеции, боковой стороной и проекцией боковой стороны на большее основание, $x = (AD-BC)/2$. Так как $AD + BC = 40$, получаем $AD - BC = AD - (40-AD) = 2AD - 40$. Получаем $AB^2 = h^2 + ((AD - BC)/2)^2$. $20^2 = 16^2 + ((AD-BC)/2)^2$, $400 = 256 + ((AD-BC)/2)^2$, $144 = ((AD-BC)/2)^2$, $12 = (AD-BC)/2$, $AD-BC = 24$. $AD + BC = 40$. Получаем систему уравнений: $AD - BC = 24$ $AD + BC = 40$. Складываем эти уравнения: $2AD = 64$, откуда $AD = 32$, и $BC = 40 - 32 = 8$. Тогда $\frac{h_1}{16 - h_1} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$. $4h_1 = 16 - h_1$, $5h_1 = 16$, $h_1 = \frac{16}{5} = 3.2$. Ответ: 3.2.