23. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C опущена высота CH. Окружность, построенная на CH как на диаметре, пересекает стороны AC и BC в точках D и E. Найдите DE если CH=12.

Так как CH - диаметр окружности, то углы CDH и CEH прямые (опираются на диаметр). Следовательно, CDH = 90 и CEH = 90. Рассмотрим четырехугольник CDHE. Сумма его углов равна 360. Так как CDH = 90 и CEH = 90, то угол DCE (угол ACB) равен 90. Следовательно, угол DHE тоже прямой, то есть равен 90 градусам (360 - 90 - 90 - 90 = 90). Значит, CDHE - прямоугольник. Поскольку окружность построена на CH как на диаметре, а D и E лежат на сторонах AC и BC соответственно, можно утверждать, что CDHE - прямоугольник. Более того, поскольку углы DCH и ECH оба опираются на общую сторону CH, то CDHE является прямоугольником. Так как угол C равен 90, то CDHE - прямоугольник. Рассмотрим треугольники ABC и DEC. Угол C - общий. CDHE - прямоугольник, значит, углы CDH и CEH - прямые. Следовательно, DE || AB (DE параллельна AB, так как углы DEC и ABC соответственные, и углы EDC и BAC тоже соответственные, а углы DCE и BCA равны). Так как CH - высота, опущенная из вершины прямого угла, то треугольник ABC подобен треугольникам ACH и BCH. А треугольники CDE и ACB подобны. Если CH - диаметр окружности, а DE - хорда, то CDHE - прямоугольник. Тогда DE = CH. Так как CH = 12, то DE = 12. Ответ: DE = 12.