25. Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и D на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Пусть (r_1 = 25) и (r_2 = 100) - радиусы окружностей с центрами (O_1) и (O_2). (O_1O_2 = r_1 + r_2 = 125). Проведем перпендикуляры (O_1A) и (O_2C). Проведем (O_1H) параллельную AC, тогда (O_1H=AC). (O_1O_2^2 = O_1H^2 + (O_2C - O_1A)^2). (125^2 = O_1H^2 + (100 - 25)^2), (O_1H^2=125^2 - 75^2), (O_1H^2 = 15625-5625 = 10000), (O_1H=100). Значит (AC=100). Расстояние между прямыми AB и CD равно высоте трапеции ABCD, где основания AB и CD. Расстояние между центрами (O_1) и (O_2) равно (r_1 + r_2 = 125). Проведем общую касательную к окружностям и обозначим ее точки касания как (T_1) и (T_2). Проведем через центр меньшей окружности прямую, параллельную общей касательной, до пересечения с радиусом, проведенным в точку (T_2) большей окружности, тогда получим прямоугольный треугольник с гипотенузой (125), и катетом (100-25=75), тогда другой катет равен (\sqrt{125^2-75^2}=100). Это длина отрезка общей касательной (T_1T_2). Расстояние между параллельными прямыми (AB) и (CD) - это длина высоты трапеции (ABCD). Пусть (O_1O_2) пересекает (AB) в точке (P) и (CD) в (Q). (PQ) - расстояние между параллельными прямыми (AB) и (CD). (PQ = O_1O_2 - r_1 - r_2 = 125-25-100=0). Проведем перпендикуляр из центра первой окружности к радиусу большей окружности, проведенного в точку касания. Тогда получаем прямоугольный треугольник с катетами, равными 75 и расстоянию между центрами окружностей, равное 125. Тогда длина проекции касательной (AC=100). Так как трапеция равнобокая, то проекция отрезка (AC) на перпендикуляр к параллельным прямым (AB) и (CD) равна (100). Искомое расстояние равно удвоенному радиусу меньшей окружности. Искомое расстояние равно 2 * 25 = 50. Но в нашем случае трапеция вырождена, так как общие касательные не пересекаются и лежат по одну сторону от окружностей, поэтому ответ (2r_1 = 2*25 = 50). Ответ: 50