23. Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH=12.

Так как BH - диаметр окружности, то угол BPH - прямой, как и угол BKH. Следовательно, BP перпендикулярно AP, и BK перпендикулярно CK. Значит, треугольник BPH и BKH прямоугольные. Угол P называется вписанным и он опирается на дугу BH, а также угол K называется вписанным и опирается на дугу BH. Угол PBH = углу KBH - это один и тот же угол, общий. Значит треугольники BPH и BKH подобны. Иными словами, треугольник BPK - прямоугольный, т.к. угол PBK прямой, и PK- гипотенуза, и опирается на диаметр BH. Так как в прямоугольном треугольнике, катет, проведенный из вершины прямого угла перпендикулярно гипотенузе, равен среднему геометрическому отрезков гипотенузы на которые он ее делит. То есть, для прямоугольного треугольника ABC, BH^2=AH*CH. Поскольку BH-диаметр окружности, углы BPK и BKH - прямые, так как опираются на диаметр. В прямоугольном треугольнике BPK, BH является гипотенузой, и по условию она 12, значит, PK также равно 12. Ответ: 12