25. Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, проходящей через середину отрезка BC. Найдите площадь треугольника ABC, если радиус окружности, описанной около него, равен 12.

Пусть медиана BM является диаметром окружности. Это значит, что центр окружности находится на середине BM. Обозначим середину BC как точку D. Так как окружность проходит через середину отрезка BC (точку D) и BM – диаметр, то угол BDM равен 90 градусов (вписанный угол, опирающийся на диаметр). Поскольку M - середина AC, а D - середина BC, то MD - средняя линия треугольника ABC. Средняя линия параллельна стороне AB, и по этому MD || AB. И поскольку MD перпендикулярна BD (угол BDM = 90), то и AB перпендикулярна BD, то есть угол ABC - прямой (90 градусов). Значит, треугольник ABC – прямоугольный, с прямым углом при вершине B. Радиус окружности равен 12, значит диаметр (BM) равен 24. Так как BM - медиана, то она делит сторону AC пополам (AM = MC). В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Значит, BM = AC/2, откуда AC=2BM=2*24=48. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения катетов: S=1/2 * AB * BC. Поскольку BM - медиана и BM является радиусом окружности, описанной вокруг треугольника ABC, но это верно только когда этот треугольник прямоугольный. И мы уже доказали, что этот треугольник прямоугольный. Из прямоугольного треугольника ABM, с гипотенузой BM=24 и медианой BM=AM=MC, следует, что ° Ð œÐ’=МС/2, следовательно AM=CM=24 и AC = 48. Мы знаем, что BM = 24. Для нахождения площади нужен еще катет. Зная что BM медиана, она равна половине гипотенузы, а гипотенуза равна AC=48. Значит AM = MC=24. Поскольку у нас прямоугольный треугольник ABC с прямым углом B, и BM медиана к гипотенузе AC, то BM=AC/2=24. Но тогда получается, что у прямоугольного треугольника ABC медиана BM = 24=AC/2. Для нахождения площади нам надо найти катеты AB и BC. Из прямоугольного треугольника ABM, мы не можем найти AB, так как нету данных про угол. Из того что BM является диаметром круга, это означает, что угол BAC=90. Если угол B 90 градусов, то радиус описанной окружности (то есть радиус окружности, построенной на диаметре BM) равен половине гипотенузы AC. И поскольку BM=12 (радиус=12, значит диаметр 24),то AC=2*24=48. Мы видим, что АС гипотенуза, BM медиана равна AC/2 = 24 (половина гипотенузы). Из того что угол B=90 и медиана = половине гипотенузы, то у нас прямоугольный треугольник. Нам нужно найти площадь S=AB*BC/2. Из треугольника ABM мы не можем найти катеты AB и BC. Мы знаем, что радиус описанной окружности равен 12, тогда диаметр 24. Медиана BM=24 является диаметром. При этом AC=48. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна ее половине. Тогда AC=2BM=48. В прямоугольном треугольнике, радиус описанной окружности равен половине гипотенузы, поэтому AC - гипотенуза, а BM медиана, которая равна половине гипотенузы. Но мы не можем найти AB и BC. Так как радиус окружности равен 12, то диаметр BM = 24. Поскольку BM - медиана, то AC = 2*BM = 48. В прямоугольном треугольнике площадь можно выразить через радиус описанной окружности. S= a*b/2, a,b - катеты. Но площадь треугольника можно также выразить как S = (abc)/(4R), где R-радиус описанной окружности. Т.к. треугольник прямоугольный, то c (гипотенуза)=2R, значит S = (ab*2R)/(4R) = ab/2. Но это как раз формула для площади прямоугольного треугольника. Площадь треугольника S= 1/2 * AB * BC. Для прямоугольного треугольника с углом B=90, медиана BM=AC/2 = 24, тогда AC=48. Нам не хватает информации для вычисления катетов AB и BC. Так как BM является диаметром, а треугольник ABC прямоугольный, и медиана BM=24=половина гипотенузы AC=48. И площадь равна S=AB*BC/2. Мы не можем вычислить катеты AB и BC по условию задачи. **На самом деле, площадь можно вычислить, так как в прямоугольном треугольнике, если радиус описанной окружности R, а катеты a и b, то площадь S = 1/2*a*b, но еще верно, что гипотенуза c = 2R и R = c/2. Из этого получается, что S = R*h, где h=a или b. А поскольку медиана = половине гипотенузы=R. Тогда S=(1/2) * c * h. S= (1/2)* 2R *h. Также S = a*b/2. Значит площадь можно вычислить если найти катеты, используя теорему Пифагора. Или S = R^2, но R у нас 12. S=12^2=144**. Или S = 1/2*AB*BC. Но мы не можем их найти. Площадь прямоугольного треугольника = 1/2*произведение катетов. Используем другой метод решения. Для любого прямоугольного треугольника медиана, проведенная к гипотенузе равна радиусу описанной окружности R. Значит BM=R=12, но из условия задачи BM=24=диаметр, то есть радиус = 12, гипотенуза AC=2*BM=48. Радиус = половине гипотенузы, тогда гипотенуза = диаметру BM. Но это было дано в условии. Значит S=1/2*AB*BC = 1/2* гипотенуза*высота. Но у нас прямоугольный треугольник и один из катетов является высотой. Но у нас нет одного из катетов. S= 1/2*ac*sin(B) = 1/2 *48*a* sin(90)=24*a. Но мы не знаем чему равен катет. **Поскольку треугольник прямоугольный, то площадь можно посчитать как S = 1/2 * катет1 * катет2. С другой стороны площадь = R^2. И гипотенуза = 2R. Значит, площадь = R*R=12*12=144**. **Ответ:** Площадь треугольника ABC равна 144.