23. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках N и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка NP, если AP=35, а сторона BC в 2,5 раза меньше стороны AB.

Окружность проходит через точки B, C, N, P. Значит, четырехугольник BCNP является вписанным в окружность. В вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 градусам. Таким образом, \angle BNC + \angle BPC = 180^{\circ} и \angle NBC + \angle NPC = 180^{\circ}. Заметим, что углы \angle APN и \angle ABC также составляют в сумме 180 градусов, потому что четырехугольник BCNP вписан в окружность (внешний угол равен внутреннему противоположному). Это означает, что \angle APN = \angle ABC, следовательно, треугольники \triangle APN и \triangle ABC подобны по двум углам ( \angle BAC — общий). Обозначим длину AB как x. Тогда длина BC будет x/2.5 = 0.4x. Из подобия треугольников \triangle APN и \triangle ABC, получим пропорцию: \frac{NP}{BC} = \frac{AP}{AB}. Мы знаем, что AP = 35 и BC = 0.4x. Тогда: \frac{NP}{0.4x} = \frac{35}{x}. Отсюда: NP = 0.4x * \frac{35}{x}. Сокращаем x и получаем NP = 0.4 * 35. Следовательно, NP = 14. **Ответ:** Длина отрезка NP равна 14.