2 вариант, 3. Дан прямоугольный треугольник АВС. угол С =90°, угол А = 60°, AC= 12. Найти АВ.

В прямоугольном треугольнике АВС с углом С = 90° и углом А = 60°, угол В = 180° - 90° - 60° = 30°. Катет BC, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы. То есть AC - катет прилежащий к углу 60° или противолежащий углу 30°, значит, BC = 1/2 AB. Мы знаем, что AC = 12. По теореме Пифагора, BC = AC * tg(A) = 12 * tg(60) = 12 * √3. AB = √(AC^2 + BC^2) = √(12^2 + (12√3)^2) = √(144 + 144*3) = √(144 + 432) = √576 = 24. Альтернативно, так как BC = 1/2 * AB, то по свойству катета против угла в 30 градусов, AB = 2 * AC/ tg(30°) = 2*12 / (1/√3) = 24 * √3. Гипотенуза AB составляет 2 * BC = 2 * (AC/tg(60)) = 2* 12 / (√3) = 24√3 / 3 = 8√3. Так как катет AC противолежащий углу 30, то гипотенуза AB = 2 * катет = 2 * (BC) = 2 * AC/tg(60) = 2 * 12 / √3 = 24/√3 = 8√3 . Но катет AC противолежащий углу 60°, значит AB = 2 * BC. BC = AC / tg(60) = 12 / √3=4√3, и AB= 2 * 4√3 = 8√3. AB = AC/cos(A) = 12 / cos(60) = 12 / (1/2) = 24. Ответ: AB = 24.