19. По кругу выписаны 2025 целых ненулевых чисел таких, что каждое число больше произведения двух следующих за ним по часовой стрелке. Какое наибольшее количество положительных чисел может быть выписано?

Давайте рассмотрим эту задачу. Представим себе числа, выписанные по кругу: a₁, a₂, a₃, ..., aₙ, где n = 2025. 1. Условие задачи гласит, что каждое число больше произведения двух следующих за ним по часовой стрелке. То есть, aᵢ > aᵢ₊₁ * aᵢ₊₂ (для простоты, если i+1 или i+2 превышает n, рассматриваем остаток от деления на n). 2. Допустим, что у нас есть три числа x, y и z. Тогда x > y*z. Чтобы условие было выполнено, положительные числа должны уменьшаться. Рассмотрим пример: если aᵢ = 2, aᵢ₊₁ = 1, aᵢ₊₂ = 1, то 2 > 1*1. Если aᵢ = 3, aᵢ₊₁ = 1, aᵢ₊₂ = 1, то 3 > 1*1. Чтобы число aᵢ было больше произведения, числа aᵢ₊₁ и aᵢ₊₂ должны быть меньше aᵢ. Допустим, что aᵢ = 3, aᵢ₊₁ = 2, aᵢ₊₂ = 1. Тогда 3 > 2*1=2. 3. Чтобы соблюдалось условие, числа не могут быть все равны 1. Так как мы ищем наибольшее количество положительных чисел, попробуем взять числа 2, 1, 1, 2, 1, 1, ... . Здесь каждый член последовательности больше, чем произведение следующих двух. Если aᵢ = 2, aᵢ₊₁ = 1, aᵢ₊₂ = 1. Если aᵢ = 1, то условие не выполняется. Если брать все числа равными 1, то условие не будет выполняться. Тогда последовательность будет вида 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1.... 4. В этой последовательности 2, 1, 1, занимают 3 позиции. 5. Чтобы определить наибольшее количество положительных чисел, выпишем последовательность из трех чисел 2, 1, 1, и затем повторяем её. Тогда мы получим: 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 1 ... Всего у нас 2025 чисел. 6. Каждая группа из трех чисел включает одну 2 и две 1. Групп будет 2025 / 3 = 675. Число 2 больше чем произведение 1*1. 7. Максимальное количество положительных чисел будет равно 675. А количество единиц = 2 * 675 = 1350. Нам нужно количество положительных чисел, поэтому выбираем 675 * 1 = 675. Если мы возьмем числа 3, 1, 1, 3, 1, 1 ... то опять же получим 675. Количество положительных чисел будет 675. Ответ (Д) 675