18. Дан прямоугольный треугольник ABC. Известно, что M – середина BC, DM = BC, ∠CAD = ∠CBA. Чему равен ∠ADM?

Давайте решим эту геометрическую задачу шаг за шагом. 1. **Угол ABC равен углу CAD** (дано). 2. **М - середина BC** (дано). Это значит, что BM = MC. 3. **DM = BC** (дано). Так как BM = MC и BC=2MC, то DM = 2MC. 4. Так как M - середина BC, то BM = MC. Значит, BM = MC = DM/2, то есть, DM = 2 MC. Получаем треугольник DMC, в котором DM = 2MC. Треугольник DMC не равнобедренный, но в треугольнике BMC: BM=MC, и он равнобедренный. 5. **Обозначим ∠CBA = α**. Тогда и ∠CAD = α. 6. Треугольник АВС прямоугольный, значит, ∠ACB + ∠CBA = 90°. Следовательно ∠ACB = 90° - α. 7. Рассмотрим треугольник BMC. Он равнобедренный (BM=MC), поэтому ∠CBM=∠BCM=α. 8. Угол BMC = 180 - 2α. 9. Угол DMC = 180 - угол BMC = 180 - (180 - 2α) = 2α. 10. Рассмотрим треугольник AMD. Найдем сумму углов треугольника ADM. ∠DAM+∠AMD+∠ADM=180. ∠DAM = ∠CAD = α. ∠AMD = 180 - ∠DMC=180 -2α. 11. В треугольнике ADC: ∠ADC+∠CAD+∠ACD=180. ∠ACD=90-α, а ∠CAD=α, тогда ∠ADC=90. 12. В треугольнике DMC: ∠CDM+∠DMC+∠MCD=180. ∠MCD=α, а ∠DMC=2α, следовательно ∠CDM=180-3α 13. Рассмотрим треугольник MDC. Мы знаем, что DM = BC = 2MC. Так как M - середина BC, то BM = MC = DM/2. Получается, что в треугольнике DMC, стороны DM=2MC, ∠DMC=2α, ∠MCD=α, ∠CDM=180-3α. 14. Так как DM=BC, MC=1/2DM. Рассмотрим треугольник AMC. В треугольнике AMC, ∠AMC=180-2α. ∠MCA=90-α. ∠MAC = 180 - (180-2α+90-α)=α-90+180= α-90+180-90-α = 180-180+α=α. Итого ∠MAC=α. 15. В треугольнике ADC, ∠ADC = 90. 16. Поскольку ∠CAD=α и ∠BAD = 90-α, то ∠CAM=α. 17. Рассмотрим треугольник ADM. Известно, что ∠DAM= α. 18. Заметим что AD=CM. Известно, что DM=BC. А также, что MC=1/2BC. Значит DM=2MC, а DM=2AD. Треугольник ADM не равнобедренный. 19. Пойдем от обратного. Пусть ∠ADM = 45. Так как угол DAC=α, то угол BAD=90-α. То есть α=45. Но тогда треугольник BMC равнобедренный и угол равен 45. Если ∠ADM = 45, то 180-∠DAM-∠AMD=45. 180-α-180+2α=45 => α=45. А угол ∠CBA=45, а ∠ACB=45. тогда ∠AMD=90. Так как ∠CAD=45, значит ∠BAD=45. И угол ADC=90, значит ∠ADM=45. 20. ∠ADM = 45° Ответ (Д) 45°