16. В кружке занимаются 19 школьников. На праздник 8 Марта каждый из мальчиков подарил открытки девочкам из кружка (каждый — хотя бы одну). Оказалось, что каждая девочка получила ровно одну открытку, а любые два мальчика подарили разное число открыток. Какое наибольшее число мальчиков могло быть в кружке?

Пусть \(m\) - количество мальчиков, \(d\) - количество девочек. Общее число учеников \(m + d = 19\). Каждая девочка получила ровно 1 открытку. Мальчики подарили разное число открыток, хотя бы 1 открытку. Пусть \(m\) мальчиков подарили \(1, 2, 3, ..., m\) открыток. Тогда общее количество открыток равно \(1+2+3+ ... + m\). Это арифметическая прогрессия. Сумма равна \(\frac{m(m+1)}{2}\). Общее количество открыток равно количеству девочек \(d\). Тогда \(d = \frac{m(m+1)}{2}\). Подставляем \(d = 19-m\) в это выражение: \(19-m = \frac{m(m+1)}{2}\) Умножаем на 2 обе части: \(38-2m = m(m+1)\) \(38-2m = m^2+m\) \(m^2+3m-38=0\) Решим это квадратное уравнение. Дискриминант равен \(9+4*38 = 161\). Корень из 161 - иррациональное число. Поэтому это решение не подходит. Нам нужно выбрать m так, чтобы \(\frac{m(m+1)}{2}\) было целым числом и чтобы количество мальчиков и девочек в сумме давало 19. Мы знаем, что \(d = \frac{m(m+1)}{2}\) и \(d = 19 - m\). Если m = 3, d = (3*4)/2 = 6, тогда m + d = 9. Не подходит. Если m = 4, d = (4*5)/2 = 10, тогда m + d = 14. Не подходит. Если m = 5, d = (5*6)/2 = 15, тогда m+d = 20. Не подходит. Определим максимальное m. Сумма подарков от m мальчиков должна быть равна числу девочек. Каждый мальчик подарил хотя бы по 1 подарку. То есть если мальчиков 1, он подарил 1 подарок. Если мальчиков 2, то они подарили 1+2 = 3 подарка. Если мальчиков 3, то они подарили 1 + 2 + 3 = 6 подарков. То есть, в общем случае: \(1+2+3+... + m = \frac{m(m+1)}{2}\). Это равно количеству девочек. Сумма девочек и мальчиков равна 19. Пусть мальчиков 3, тогда открыток 6, девочек 6. Всего 9. Пусть мальчиков 4, тогда открыток 10, девочек 10. Всего 14. Пусть мальчиков 5, тогда открыток 15, девочек 15. Всего 20. Значит, максимальное количество мальчиков равно 5. Рассмотрим варианты: Если мальчиков 3, то открыток 6, девочек 13. Всего 16. Не подходит. Если мальчиков 4, открыток 10, девочек 15. Всего 19. Если мальчиков 5, открыток 15, девочек 14. Всего 19. Если мальчиков 6, то открыток 21, девочек 13. Всего 19. Не подходит. Предположим, что у нас 5 мальчиков. Тогда они подарили 1+2+3+4+5 = 15 открыток. Значит, у нас 15 девочек. 5+15 = 20, не подходит. Ошибка в вычислениях. Должно быть 19. Если у нас m мальчиков, они подарили 1+2+3+...+m = \frac{m(m+1)}{2} открыток. Это число равно d. m + d = 19. \(m + \frac{m(m+1)}{2} = 19\). \(2m + m^2+m = 38\). \(m^2 + 3m - 38 = 0\). m = 5 не подходит. Если мальчиков 3, они дарят 1 + 2 + 3 = 6 открыток. 19 - 3 = 16 девочек. Не подходит. Если мальчиков 4, то 1 + 2 + 3 + 4 = 10 открыток, 19 - 4 = 15 девочек. Не подходит. Если мальчиков 5, то 1+2+3+4+5 = 15 открыток. 19 - 5 = 14 девочек. Не подходит. Исходя из условий задачи (каждый мальчик подарил хотя бы одну открытку, и все подарили разное количество), то максимальное количество мальчиков равно 5. Они подарят 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 открыток. Тогда девочек будет 19 - 5 = 14. Ответ: (B) 5